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Principe de fonctionnement


Le principe de repérage utilisé par le GPS s’appuie sur le principe de la triangulation, méthode bien connue des physiciens et dont nous avons déjà parlé dans notre deuxième partie .La nouveauté est que la triangulation s’applique également dans un repère tridimensionnel.

  1. La triangulation

    1. On considère la distance d séparant un satellite d’un récepteur GPS.Sachant que le satellite a une position X précise et définie dans un espace à 3 dimensions, l’ensemble des points possibles où pourrait se situer l’utilisateur du GPS est la sphère de centre le satellite et de rayon la distance d.
    2. De la même manière on fait intervenir un deuxième satellite qui connaît la distance le séparant du récepteur GPS.L’intersection des deux sphères forme un cercle. Ce cercle représente l’ensemble des positions que peut avoir le récepteur GPS.
    3. Mais la précision du satellite n’étant pas suffisante avec 2 on se sert d’un troisième satellite. La démarche est identique aux 2 précédents satellite. On obtient alors 2 points possibles.Dans le cas où l’utilisateur se situe à la surface de la Terre seul un des 2 points est cohérent. Ainsi on peut déduire sa position exacte en éliminant le point donnant un résultat incohérent.
    Donc : en théorie 3 satellites suffisent pour connaître la position exacte d’un point sur Terre.Pourtant, nous verrons qu’en pratique il en faut 4.

  2. La mesure de distance

    3. Toute la démonstration précédente reposait sur l'hypothèse que l'on connaissait exactement la distance séparant le satellite du récepteur. Mais comment calculer cette distance ? Le principe est le suivant: le satellite envoie un signal vers le récepteur, celui ci détermine le temps de transmission de ce signal et ainsi peut déduire la distance le séparant du satellite suivant la formule :
    Distance = vitesse * temps

    La célérité des ondes transmises est proche de celle de la lumière c'est-à-dire 300 000 km/s

    Il reste donc à déterminer le temps de transmission du signal. Pour cela, le récepteur et le satellite émettent au même moment une trame pseudo-aléatoire identique (appelée ainsi car elle est générée par des équations très complexe, la rendant ainsi unique). Une fois que cette trame sera reçue par le récepteur, celui-ci pourra la décaler dans le temps de façon à la faire coïncider avec celle qu'il a généré, la mesure du temps de transmission est déduite de ce procédé, et ainsi on peut connaître la distance séparant le récepteur du satellite.

    Après recherche de superposition de signal, on obtient donc :

    Décalage entre le satellite et le récepteur = t

  3. La mesure précise du temps

    4. Pour valider tout le raisonnement qui précède, il faut que la mesure du temps soit extrêmement précise. En effet, si une erreur d'un millième de seconde est faite, cela produit une erreur de position de 300km ! A la vitesse de la lumière, une très grande précision est de rigueur. Les horloges internes des satellites sont très précises car il s'agit d'horloges atomiques au Césium, cependant celles des récepteurs l'est beaucoup moins.

    La solution : utiliser un 4ème satellite...

    Essayons de comprendre comment 4 mesures imprécises de satellites peuvent donner une mesure précise de positionnement, pour cela ramenons nous à un espace à 2 dimensions car le raisonnement est le même :

    1. Dans un espace 2D, il faudrait 2 satellites pour repérer un point :
      Le satellite A mesure 4 secondes ,
      Le satellite B mesure 6 secondes.
      A l'intersection de ces deux mesures on obtient le point X

    2. Mais les satellites ont commis une erreur d'une seconde...

    3. En utilisant un troisième satellite, sans erreur de mesure...
      Au lieu de trouver le point X, c'est le point XX qui est calculé.
      Le 3ème satellite confirme le résultat des 2 autres.

    4. Dans le cas d'une erreur d'une seconde de chaque satellite
      Le 3ème satellite permet de définir une zone dans laquelle se trouve le point à trouver.
    En considérant que l'erreur commise par A, B et C sont les mêmes, il suffit de chercher quelle valeur enlever à chaque mesure (qui correspond à l'erreur commise) pour que les arcs de cercle se coupent en un même point.

    En raisonnant dans un espace 3D, on comprend donc pourquoi il faut recourir à un 4ème satellite.

  4. Le positionnement des satellites

Tout cela semble donc être parfait et nous permet d’obtenir un positionnement exact, cependant un autre détail est à régler : la position des satellites. Effectivement, pour calculer précisemment la distance séparant un satellite du point à déterminer, il faut que ce dernier connaisse parfaitement sa position dans l’espace. c’est le rôle des stations de contrôle : Le satellite renvoie sa position théorique à la station de contrôle, qui calcule alors l’erreur de position commise par ce dernier afin de lui renvoyer la valeur de cette erreur. Le satellite peut donc informer le récepteur de l’erreur qu’il doit prendre en compte dans ses calculs.

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